Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}）|，x＜0}\\{lo{g}_{a}x+1（a＞0且a≠1），x＞0}\end{array}\right.$的圖象上關(guān)于y軸對稱點(diǎn)恰好有3對，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{5}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）|，（x＜0）關(guān)于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，此時f₁（-x）=|sin（-$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）|=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|，
若函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則f₁（-x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|=f₁（x），
即函數(shù)f（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）|，x＜0時關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為：
f₁（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|，x＞0，
作出函數(shù)f（x）的圖象以及y=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|的圖象如圖：
∵函數(shù)f（x）=log_ax+1恒過定點(diǎn)（1，1），
∴若a＞1，則f（x）=log_ax+1與f₁（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|，x＞0，只有一個交點(diǎn)，不滿足條件．
若0＜a＜1，由f₁（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|=0得$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$=kπ，即x=2k+$\frac{1}{2}$，
則k=1時，x=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，即第2個零點(diǎn)為$\frac{5}{2}$，
k=2時，x=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，即第3個零點(diǎn)為$\frac{9}{2}$，
若兩個函數(shù)有3個交點(diǎn)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{5}{2}）＞0}\\{f（\frac{9}{2}）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{5}{2}+1＞0}\\{lo{g}_{a}\frac{9}{2}+1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{5}{2}＞-1}\\{lo{g}_{a}\frac{9}{2}＜-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}＜\frac{1}{a}}\\{\frac{9}{2}＞\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{2}{5}}\\{a＞\frac{2}{9}}\end{array}\right.$，即$\frac{2}{9}$＜a＜$\frac{2}{5}$，
故答案為：（$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{5}$）

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，作出函數(shù)關(guān)于y對稱的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．