Question

7．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)（2，-6）；
（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，a＞b＞0，由已知得a=2b，且橢圓過(guò)點(diǎn)（2，-6），由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的方程．
（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，由已知條件推導(dǎo)出c=b=3，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，a＞b＞0，
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴a=2b，①
∵橢圓過(guò)點(diǎn)（2，-6），∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{36}{^{2}}$=1，或$\frac{36}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，②
由①②，得a²=148，b²=37或a²=52，b²=13，故所求的方程為$\frac{{x}^{2}}{148}+\frac{{y}^{2}}{37}=1$或$\frac{{y}^{2}}{52}+\frac{{x}^{2}}{13}=1$．
（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
∵在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6，如圖所示，
∴△A₁FA₂為一等腰直角三角形，OF為斜邊A₁A₂的中線（高），且OF=c，A₁A₂=2b，
∴c=b=3．∴a²=b²+c²=18．
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．