Question

18．已知函數(shù)f（x）=-4x²+4ax-4a-a²，（a≠0）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為0，存在x∈[2，3]，使得m（x²+2x）＜f（x）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=-1時，得出f（x）=-4x²-4x+3，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法便可得出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先求出f（x）的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系：$\frac{a}{2}＜0$時，可以得到f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值為f（0）=-4a-a²=0，從而求出a=-4，從而由m（x²+2x）＜f（x）及x∈[2，3]可得到$m＜\frac{-4x-16}{x+2}=-4-\frac{8}{x+2}$，從而得到$m＜-4-\frac{8}{3+2}=-\frac{28}{5}$，而對于$0＜\frac{a}{2}＜1$和$\frac{a}{2}≥1$的情況容易判斷出不存在，這樣寫出m的取值范圍即可．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=-4x²-4x+3；
f（x）的對稱軸為x=$-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$]；
（2）f（x）的對稱軸為$x=\frac{a}{2}$；
①若$\frac{a}{2}＜0$，a＜0，則f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為f（0）=-4a-a²=0；
∵a≠0；
∴a=-4；
∴f（x）=-4x²-16x；
∴x∈[2，3]時，不等式m（x²+2x）＜-4x²-16x有解；
∴m（x+2）＜-4x-16；
∴$m＜\frac{-4x-16}{x+2}=\frac{-4（x+2）-8}{x+2}=-4-\frac{8}{x+2}$；
即存在x∈[2，3]，使m$＜-4-\frac{8}{x+2}$；
∴$m＜-4-\frac{8}{3+2}$；
∴$m＜-\frac{28}{5}$；
②若$0＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2，則：
f（x）的最大值為$f（\frac{a}{2}）=-4a$；
∵a≠0，且f（x）的最大值為0；
∴這種情況不存在；
③若$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）=-4-a²=0；
a²=-4顯然不成立；
∴實數(shù)m的取值范圍為$（-∞，-\frac{28}{5}）$．

點評 考查二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，二次函數(shù)的對稱軸，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點情況求最大值，以及反比例函數(shù)的單調(diào)性．