Question

16．某廠生產(chǎn)當?shù)匾环N特產(chǎn)，并以適當?shù)呐�發(fā)價賣給銷售商甲，甲再以自己確定的零售價出售，已知該特產(chǎn)的銷售（萬件）與甲所確定的零售價成一次函數(shù)關(guān)系’當零售價為80元/件時，銷售為7萬件；當零售價為50元/件時，銷售為10萬件，后來，廠家充分聽取了甲的意見，決定對批發(fā)價改革，將每件產(chǎn)品的批發(fā)價分成固定批發(fā)價和彈性批發(fā)價兩部分，其中固定批發(fā)價為30元/件，彈性批發(fā)價與該特產(chǎn)的銷售量成反比，當銷售為10萬件，彈性批發(fā)價為1元/件，假設不計其它成本，據(jù)此回答下列問題
（1）當甲將每件產(chǎn)品的零售價確定為100元/件時，他獲得的總利潤為多少萬元？
（2）當甲將每件產(chǎn)品的零售價確定為多少時，每件產(chǎn)品的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）設該特產(chǎn)的銷售量y（萬件），零售價為x（元/件），且y=kx+b，由題意求得k，b，設彈性批發(fā)價t與該特產(chǎn)的銷售量y成反比，求得t，b的關(guān)系式，設總利潤為z（萬元），求得z的關(guān)系式，再令x=100，即可得到所求總利潤；
（2）由（1）可得每件的利潤為m=x-30-$\frac{10}{15-0.1x}$（x＜150），運用基本不等式即可得到所求最大值及對應的x值．

解答 解：（1）設該特產(chǎn)的銷售量y（萬件），零售價為x（元/件），
且y=kx+b，由題意可得7=80k+b，10=50k+b，
解得k=-$\frac{1}{10}$，b=15，可得y=15-$\frac{1}{10}$x，
設彈性批發(fā)價t與該特產(chǎn)的銷售量y成反比，
當銷售為10萬件，彈性批發(fā)價為1元/件，
即有t=$\frac{10}{y}$，
設總利潤為z（萬元），
則z=（15-$\frac{1}{10}$x）（x-30-$\frac{10}{y}$）=（15-0.1x）（x-30-$\frac{10}{15-0.1x}$），
令x=100時，則z=（15-10）×（100-30-$\frac{10}{15-10}$）=340，
即有他獲得的總利潤為340萬元；
（2）由（1）可得每件的利潤為m=x-30-$\frac{10}{15-0.1x}$（x＜150）
=x-$\frac{100}{150-x}$-30=x-150+$\frac{100}{x-150}$+120
≤120-2$\sqrt{（x-150）•\frac{100}{x-150}}$=120-20=100．
當且僅當x-150=-10，即x=140時，取得等號．
則甲將每件產(chǎn)品的零售價確定為140元/件時，每件產(chǎn)品的利潤最大．

點評 本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式的求法，考查基本不等式的運用：求最值，注意每件的利潤和總利潤的關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．