Question

17．設f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），則對任意實數(shù)a和b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要條件．

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)的定義可得f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)，利用f′（x）≥0可知f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），為R上的增函數(shù)，進而由充要條件的定義可得答案．

解答 解：令g（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）x∈R，
∵g（-x）+g（x）=log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log₂[（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）]=log₂1=0，
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)，又y=x³為奇函數(shù)，
∴f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)．
又f′（x）=3x²+$\frac{1+\frac{1}{2}•\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）ln2}$=3x²+$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）ln2}$＞0恒成立，
∴f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為R上的增函數(shù)，
∴f（a）+f（b）≥0?f（a）≥-f（b）=f（-b）?a≥-b?a+b≥0．
故“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的充要條件，
故答案為：充要．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，分析得到f（x）=x³+log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）為奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)是關鍵，屬于中檔題