【題目】如圖,正四面體底面的中心為,的重心為.是內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)(包括邊界),滿足,,不共線且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到平面的距離相等.
(1)證明:平面;
(2)若,求四面體體積的最大值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
1延長AG交BC于M,則M為BC的中點(diǎn),由于O是的重心,從而,由此能證明平面OPG.
2作于Q點(diǎn),可證得平面ABM,則,作P到底面上的投影H,則于,由三垂線定理得,從而,由橢圓的第二定義得P點(diǎn)的軌跡是以A為右焦點(diǎn),直線CD為右準(zhǔn)線的橢圓,由橢圓的對稱性得當(dāng)P與重合時(shí),最大,由此能求出四面體體積的最大值.
(1)證明:如圖,
延長AG交BC于M,則M為BC的中點(diǎn),
由于O是的重心,則B、O、M共線,
且,
,
又A,P,G三點(diǎn)不共線,則P不在平面ABOG內(nèi)部,
則平面OPG.
2作于Q點(diǎn),
由,,得平面ABM,
又,則平面ABM,
則,
下面求PQ的最大值,
作P到底面上的投影H,
則于,
由三垂線定理得,
則,
由,得,
接下來,分析在平面ACD中的最小值,
由于,
由橢圓的第二定義得P點(diǎn)的軌跡是以A為右焦點(diǎn),直線CD為右準(zhǔn)線的橢圓,
由橢圓的對稱性得當(dāng)P與重合時(shí),最大,
此時(shí),設(shè),則,
,
則,
,解得,
四面體體積.
四面體體積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.
(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;
(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn),,如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三數(shù)學(xué)奧林匹克競賽集訓(xùn)隊(duì)的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖(圖1)和頻率分布直方圖(圖2)都受到不同程度的破壞,可見部分如圖所示,據(jù)此解答如下問題.
(1)求該集訓(xùn)隊(duì)總人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻數(shù);
(2)計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90)的矩形的高;
(3)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生的答題情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】密云某商場舉辦春節(jié)優(yōu)惠酬賓贈(zèng)券活動(dòng),購買百元以上單件商品可以使用優(yōu)惠劵一張,并且每天購物只能用一張優(yōu)惠券.一名顧客得到三張優(yōu)惠券,三張優(yōu)惠券的具體優(yōu)惠方式如下:
優(yōu)惠券1:若標(biāo)價(jià)超過50元,則付款時(shí)減免標(biāo)價(jià)的10%;
優(yōu)惠券2:若標(biāo)價(jià)超過100元,則付款時(shí)減免20元;
優(yōu)惠券3:若標(biāo)價(jià)超過100元,則超過100元的部分減免18%.
如果顧客需要先用掉優(yōu)惠券1,并且使用優(yōu)惠券1比使用優(yōu)惠券2、優(yōu)惠券3減免的都多,那么你建議他購買的商品的標(biāo)價(jià)可以是__________元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人獨(dú)立地對某一技術(shù)難題進(jìn)行攻關(guān).甲能攻克的概率為,乙能攻克的概率為,丙能攻克的概率為.
(1)求這一技術(shù)難題被攻克的概率;
(2)現(xiàn)假定這一技術(shù)難題已被攻克,上級決定獎(jiǎng)勵(lì)萬元.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:若只有一人攻克,則此人獲得全部獎(jiǎng)金萬元;若只有兩人攻克,則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此二人,每人各得萬元;若三人均攻克,則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此三人,每人各得萬元.設(shè)乙、丙兩人得到的獎(jiǎng)金數(shù)的和為X,求X的分布列和均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】秉承“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某市環(huán)保部門通過制定評分標(biāo)準(zhǔn),先對本市的企業(yè)進(jìn)行評估,評出四個(gè)等級,并根據(jù)等級給予相應(yīng)的獎(jiǎng)懲,如下表所示:
評估得分 | ||||
評定等級 | 不合格 | 合格 | 良好 | 優(yōu)秀 |
獎(jiǎng)勵(lì)(萬元) |
環(huán)保部門對企業(yè)評估完成后,隨機(jī)抽取了家企業(yè)的評估得分(分)為樣本,得到如下頻率分布表:
評估得分 | ||||||
頻率 |
其中、表示模糊不清的兩個(gè)數(shù)字,但知道樣本評估得分的平均數(shù)是.
(1)現(xiàn)從樣本外的數(shù)百個(gè)企業(yè)評估得分中隨機(jī)抽取個(gè),若以樣本中頻率為概率,求該家企業(yè)的獎(jiǎng)勵(lì)不少于萬元的概率;
(2)現(xiàn)從樣本“不合格”、“合格”、“良好”三個(gè)等級中,按分層抽樣的方法抽取家企業(yè),再從這家企業(yè)隨機(jī)抽取家,求這兩家企業(yè)所獲獎(jiǎng)勵(lì)之和不少于萬元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正四面體中,在平面內(nèi),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中,直線與平面所成角的余弦值不可能是( )
A.B.C.D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個(gè)3×2×3的長方體框架,一個(gè)建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處,則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
非體育迷 | 體育迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計(jì) |
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).
附:.
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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