Question

17．某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬(wàn)張，其中燃油型汽車牌照10萬(wàn)張，電動(dòng)型汽車2萬(wàn)張．為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動(dòng)型汽車牌照按50%增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬(wàn)張，一旦某年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)為0萬(wàn)張，以后每一年發(fā)放的燃油型的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過(guò)15萬(wàn)張，以后每一年發(fā)放的電動(dòng)車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．
（1）記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列{b_n}，寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）從2013年算起，求到2029年（包含2029年）累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)1≤n≤20，求出通項(xiàng)公式，當(dāng)n≥21且n∈N^*，a_n=0求出通項(xiàng)公式，然后求解這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的和，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）當(dāng)1≤n≤20且n∈N^*，${a_n}=10+（n-1）×（-0.5）=-\frac{n}{2}+\frac{21}{2}$；
當(dāng)n≥21且n∈N^*，a_n=0．∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{2}+\frac{21}{2}，1≤n≤20，n∈{N}^{*}}\\{0，n≥21，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$…（3分）
而a₄+b₄=15.25＞15，∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2•（{\frac{3}{2}）}^{n-1}，1≤n≤4，n∈{N}^{*}}\\{6.75，n≥5，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$…（6分）
（2）${S_{17}}={a_1}+{a_2}…+{a_{17}}+{b_1}+{b_2}…+{b_{17}}=\frac{10+2}{2}×17+\frac{{2（1-{{（\frac{3}{2}）}^4}）}}{{1-\frac{3}{2}}}+13×6.75=206$（萬(wàn)輛）
所以到2029年（包含2029年）累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)為206萬(wàn)輛…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列在函數(shù)中的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．