Question

8．已知A（-1，0），B是圓C：（x-1）²+y²=8（C為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BC于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可得|PA|+|PC|=|CB|=$2\sqrt{2}$＞2，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，則答案可求．

解答 解：如圖，圓C：（x-1）²+y²=8的圓心C（1，0），半徑為r=|CB|=$2\sqrt{2}$，
由圖可知，∵P是AB的垂直平分線上的點(diǎn)，
∴|PA|=|PB|，則|PA|+|PC|=|CB|=$2\sqrt{2}$，
∵$2\sqrt{2}＞2$，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=1．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，考查了橢圓的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．