Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線x²-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，則△F₁PF₂的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得 F₂（$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₁ （-$\sqrt{2}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂=4，由${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：由雙曲線x²-y²=1的a=b=1，c=$\sqrt{2}$，
F₂（$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₁ （-$\sqrt{2}$，0），
由余弦定理可得，
F₁F₂²=8=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=4+PF₁•PF₂，
∴PF₁•PF₂=4．
則${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出PF₁•PF₂的值，是解題的關(guān)鍵．