Question

17．由$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，…，$\sqrt{10+\frac{a}}=10\sqrt{\frac{a}}$，推測(cè)a+b=109．

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，方法是根據(jù)已知中的等式，分析根號(hào)中分式分子和分母的變化規(guī)律，得到a，b值．

解答 解：由已知中，
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，
$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，
$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，
…，
歸納可得：第n個(gè)等式為：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}=（n+1）\sqrt{\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$，
當(dāng)n+1=10時(shí)，a=10，b=99，
故a+b=109，
故答案為：109

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．