【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖所示,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,右焦點(diǎn)為.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與此橢圓分別交于點(diǎn),,其中,,.

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足:,求點(diǎn)的軌跡;

(2)設(shè),求點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)設(shè),求證:直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1) 的軌跡為直線. (2) (3) 直線必過(guò)軸上一定點(diǎn).

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得、、的坐標(biāo),設(shè)動(dòng)點(diǎn).根據(jù)條件,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式,化簡(jiǎn)即可得解.

(2)根據(jù),代入橢圓方程即可求得、的坐標(biāo).進(jìn)而求得直線與直線的方程.聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)設(shè)出直線與直線的方程,分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出、的坐標(biāo).討論,并分別求得的值.即可求得所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

1)由題設(shè)得,,,,設(shè)動(dòng)點(diǎn),

,,,

代入化簡(jiǎn)得.

故點(diǎn)的軌跡為直線

(2)由,,,則點(diǎn),

直線的方程為,

,,,則點(diǎn).

直線的方程為,

.解方程組可得

(3)由題設(shè)知,直線的方程為:,直線的方程為:,

點(diǎn)滿足,,;

點(diǎn)滿足,,;

,,得,

此時(shí)直線的方程為,過(guò)點(diǎn);

,則,直線的斜率,

直線的斜率,

所以,所以直線過(guò)點(diǎn).

因此直線必過(guò)軸上一定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下:先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù),再求與實(shí)際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對(duì)值不超過(guò)1,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

(1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;

(2)為了使等候的乘客不超過(guò)35人,試用(1)中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率等于,它的一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)已知、)是橢圓上的兩點(diǎn),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且直線的斜率為.

①求四邊形APBQ的面積的最大值;

②求證:.

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【題目】2014·長(zhǎng)春模擬)對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下表:


27

38

30

37

35

31


33

29

38

34

28

36

(1)畫(huà)出莖葉圖.

(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差,并判斷選誰(shuí)參加比賽更合適?

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【題目】國(guó)際奧委會(huì)將于2017年9月15日在秘魯利馬召開(kāi)130次會(huì)議決定2024年第33屆奧運(yùn)會(huì)舉辦地。目前德國(guó)漢堡、美國(guó)波士頓等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費(fèi)用超支而相繼退出。某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國(guó)公民對(duì)申辦奧運(yùn)會(huì)的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整;

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運(yùn)無(wú)關(guān)?

(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性,其中2位是女教師,現(xiàn)從這5名女性中隨機(jī)抽取3人,求至多有1位教師的概率.

附: .

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BE與平面EAC所成角的正弦值;

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【題目】已知平面多邊形中,,,,,的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿折起,使.

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(2)求證:;

(3)求證:.

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