Question

18．已知拋物線E：y²=x，
（Ⅰ）設(shè)點P在拋物線E上，若點P到直線y=x+1的距離最小，求點P的坐標；
（Ⅱ）對于定點m（x₀，y₀），直線l：y₀y=$\frac{x+{x}_{0}}{2}$稱為點M關(guān)于拋物線y²=x的伴隨直線，設(shè)M（2，1）的伴隨直線為l，過M作直線交拋物線E于A、B兩點，再過A、B分別作l的垂線，垂足分別為A₁，B₁，求證：$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{|AM|}{|BM|}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出P點坐標，由點到直線的距離公式寫出P到直線距離，然后利用配方法求得距離的最小值，并求得使距離最小的P的坐標；
（Ⅱ）由新定義得到M（2，1）的伴隨直線方程，畫出圖形，把$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{|AM|}{|BM|}$轉(zhuǎn)化為A、B兩點的坐標間的關(guān)系，再設(shè)出AB的直線方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，由根與系數(shù)關(guān)系證得答案．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)P（x，y）則$d=\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|{y}^{2}-y+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|（y-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}|≥\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時，d取最小值，此時，P（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$）；
（Ⅱ）證明：M（2，1）的伴隨直線為l：x-2y+2=0，則拋物線在l的下方，
$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{{x}_{1}-2{y}_{1}+2}{{x}_{2}-2{y}_{2}+2}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}+2}{{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{2}+2}$，$\frac{|MA|}{|MB|}=\frac{{y}_{1}-1}{1-{y}_{2}}$，顯然AB不垂直y軸，
設(shè)AB所在直線方程為m（y-1）=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{x=my+2-m}\end{array}\right.$，得到y(tǒng)²-my+m-2=0，
則y₁+y₂=m，y₁y₂=m-2，
要證$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{|AM|}{|BM|}$，即證$\frac{{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}+2}{{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{2}+2}=\frac{{y}_{1}-1}{1-{y}_{2}}$，
也就是證$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4（{y}_{1}+{y}_{2}）-{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}-2）+4=0$，
即證m²-4m-（m-2）²+4=0，
此式顯然成立．

點評 本題是新定義題，考查了直線與拋物線的關(guān)系，訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用，考查了利用配方法求最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是難題．