Question

3．已知數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，…，2016），圓C₁：x²+y²-4x-4y=0，圓C₂：x²+y²-2a_nx-2a_2017-ny=0，若圓C₂平分圓C₁的周長，則數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)的和為4032．

Answer 1

分析 根據(jù)兩圓的關(guān)系求出兩圓的公共弦，求出圓心C₁的圓心，得到a_n+a_2017-n=4即可求出{a_n}的所有項(xiàng)的和．

解答 解：設(shè)圓C₁與圓C₂交于A，B，則直線AB的方程為：
x²+y²-4x-4y-（x²+y²-2a_nx-2a_2017-ny）=0，
化簡得：（a_n-2）x+（a_2017-n-2）y=0，
∵圓C₁：x²+y²-4x-4y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓（x-2）²+（y-2）²=8，
∴圓心C₁：（2，2）．
又圓C₂平分圓C₁的周長，
則直線AB過C₁：（2，2）．，
代入AB的方程得：2（a_n-2）+2（a_2017-n-2）=0，
即a_n+a_2017-n=4，
∴{a_n}的所有項(xiàng)的和為a₁+a₂+…+a₂₀₁₇=（a₁+a₂₀₁₆）+（a₂+a₂₀₁₅）+…+（a₁₀₀₈+a₁₀₀₉）=1008×4=4032．
故答案為：4032．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用兩圓的關(guān)系求出公共弦的方程，并求出a_n+a_2017-n=4是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．