Question

【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且2an+Sn=An2+Bn+C．
（1）當(dāng)A=B=0，C=1時(shí)，求an；
（2）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且A=1，C=﹣2． ①設(shè)bn=2nan ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和；
②設(shè)cn= ，若不等式cn≥ 對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)A=B=0，C=1時(shí)，2an+Sn=1，

∴ ；

當(dāng)n≥2時(shí)，2an﹣1+Sn﹣1=1，

兩式作差得：3an=2an﹣1，即 ，

∴數(shù)列{an}是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，

∴

（2）解：當(dāng)A=1，C=﹣2時(shí)，2an+Sn=n2+Bn﹣2，

∴ ， ， ，

∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，

∴ ，解得：B=4．

∴a1=1，a2=5，則d=4，

∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3，

① bn=2nan=（4n﹣3）2n，

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 ，

，

兩式作差得：

= =2﹣16+2n+3﹣（4n﹣3）2n+1，

∴ ；

②cn= = = ，

∵ 單調(diào)遞增，

∴當(dāng)n=1時(shí)， 有最小值為 ，

∴ ，即m≤﹣14．

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣14]

【解析】（1）把A=B=0，C=1代入2an+Sn=An2+Bn+C，求得數(shù)列首項(xiàng)，進(jìn)一步可得數(shù)列{an}是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（2）①由已知求出B，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，代入bn=2nan ， 利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；②把Tn代入cn= ，由函數(shù)的單調(diào)性求其最小值，由 小于等于cn的最小值求得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握通項(xiàng)公式：或；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．