Question

2．設(shè)f（x）=m-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$，其中m為常數(shù)
（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+m＞0對(duì)一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，解得m=2，再由奇函數(shù)的定義即可判斷；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為m＞$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，即有f（0）=0，即m-$\frac{4}{{3}^{0}+1}$=0，解得m=2，
經(jīng)檢驗(yàn)f（-x）=-f（x），m=2符合題意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2-$\frac{4}{{3}^{x}+1}$，
若不等式f（x）+m＞0對(duì)一切x∈R恒成立，
即m＞$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2，
當(dāng)x→-∞時(shí)，$\frac{4}{{3}^{x}+1}$-2→2，
故m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查不等式成立問題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．