Question

14．某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空氣質(zhì)量	優(yōu)	良	輕度污染	輕度污染	中度污染	重度污染
天數(shù)	6	14	18	27	20	15

（Ⅰ）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30 天是在供暖季，其中有8 天為嚴(yán)重污染．根據(jù)提
供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的
空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”？

	非重度污染	嚴(yán)重污染	合計(jì)
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計(jì)	85	15	100

（Ⅱ）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x 的關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月（按30 天計(jì)算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出2×2列聯(lián)表，由公式，得到結(jié)果．
（Ⅱ）由分段函數(shù)，得到各段的概率，由此得到數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：

	非嚴(yán)重污染	嚴(yán)重污染	總計(jì)
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
總計(jì)	85	15	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得：
K²=$\frac{100（22×7-63×8）^{2}}{85×15×30×70}$≈4.575．
∵4.575＞3.841
∴由95%的把握認(rèn)為：“該城市本年的空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”
（Ⅱ）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為X元，則：
P（X=0）=P（0≤x≤100）=$\frac{1}{5}$
P（X=400）=P（100＜x≤300）=$\frac{13}{20}$，
P（X=2000）=P（x＞300）=$\frac{3}{20}$
∴E（X）=0×$\frac{1}{5}$+400×$\frac{13}{20}$+2000×$\frac{3}{20}$=560．
∴該企業(yè)一個(gè)月（按30 天計(jì)算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30×E（X）=16800元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查2×2列聯(lián)表，各段的概率，以及數(shù)學(xué)期望．