4.已知函數(shù)f(x)=cos$\frac{x}{4}$•cos($\frac{π}{2}$-$\frac{x}{4}$)•cos(π-$\frac{x}{2}$),將函數(shù)f(x)在(0,+∞)的所有極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大排成一數(shù)列,記為{an}.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令bn=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$,求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn

分析 (Ⅰ)利用誘導(dǎo)公式及正弦的二倍角公式即可函數(shù)f(x)的解析式化簡(jiǎn);f′(x)=-$\frac{1}{4}$cosx,由f′(x)=0可求得極值點(diǎn)從小到大依次為$\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$,$\frac{5π}{2}$,…$\frac{(2n-1)π}{2}$,于是可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,再根據(jù)裂項(xiàng)求和,從而可求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn

解答 解:(Ⅰ)f(x)=-cos$\frac{x}{4}$•sin$\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=-$\frac{1}{4}$sinx.
∴f′(x)=-$\frac{1}{4}$cosx,
令f′(x)=0得:cosx=0,
∴x=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z.
又x>0,
∴極值點(diǎn)從小到大排列依次為:$\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$,$\frac{5π}{2}$,…$\frac{(2n-1)π}{2}$,
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:an=$\frac{(2n-1)π}{2}$.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=$\frac{1}{\frac{(2n-1)π}{2}•\frac{(2n+1)π}{2}}$=$\frac{4}{{π}^{2}}$•$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{2}{{π}^{2}}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$).
Tn=$\frac{2}{{π}^{2}}$[(1-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$)+…+($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)]=$\frac{2}{{π}^{2}}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{4n}{{π}^{2}(2n+1)}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù),考查函數(shù)極值點(diǎn)的應(yīng)用,突出考查數(shù)列的裂項(xiàng)法求和,考查轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AB=2,若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為$\frac{243π}{16}$同一球面上,則PA=$\frac{7}{2}$.

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15.已知A,B是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1的兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上異于A,B的一點(diǎn),連接PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1于點(diǎn)Q,如果設(shè)直線PA,PB,QA的斜率分別為k1,k2,k3,且k1+k2=-$\frac{15}{8}$,假設(shè)k2>0,則k3的值為2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.設(shè)函數(shù)f(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,則f(x)在區(qū)間[a,b]上(  )
A.有最大值$f(\frac{a+b}{2})$B.有最小值$f(\frac{a+b}{2})$C.有最大值f(a)D.有最小值f(a)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)$(A>0,\;|φ|<\frac{π}{2})$的圖象如圖所示,為了得到f(x)圖象,則只需將g(x)=sin2x的圖象( 。
A.向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)長(zhǎng)度單位B.向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)長(zhǎng)度單位
C.向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)長(zhǎng)度單位D.向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)長(zhǎng)度單位

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9.若實(shí)數(shù)a,b,c同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
①(b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$)2+[c-m(a2+a-m2-m)]2=0;
②對(duì)任意的a∈R,b<0或c<0;
③存在a∈(-∞,-1),使得bc<0.
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(  )
A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(-3,-2)D.(-4,-2)

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16.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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13.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,例如函數(shù)y=x2,x∈[1,2]與函數(shù)y=x2,x∈[-2,-1]即為“同族函數(shù)”.下面函數(shù)的解析式也能夠被用來(lái)構(gòu)造“同族函數(shù)”的是(  )
A.y=xB.y=|x-3|C.y=2xD.y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.某城市隨機(jī)抽取一年內(nèi)100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:
API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]>300
空氣質(zhì)量優(yōu)輕度污染輕度污染中度污染重度污染
天數(shù)61418272015
(Ⅰ)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30 天是在供暖季,其中有8 天為嚴(yán)重污染.根據(jù)提
供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),完成下面的2×2 列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該城市本年的
空氣嚴(yán)重污染與供暖有關(guān)”?
非重度污染嚴(yán)重污染合計(jì)
供暖季22830
非供暖季63770
合計(jì)8515100
(Ⅱ)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x 的關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{0,0≤x≤100}\\{400,100<x≤300}\\{2000,x>300}\end{array}\right.$試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月(按30 天計(jì)算)的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828

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