Question

2．（1）若函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{a^2}-1）{x^2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知f（x）的定義域是（0，1），求f（x+1）的定義域；
（3）已知f（x+1）的定義域是[-2，3]，求f（2-x）的定義域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，討論a的取值，求出滿足題意的a的取值范圍即可；
（2）利用函數(shù)f（x）的定義域得出x+1的取值范圍，由此求出x的取值范圍即得函數(shù)f（x+1）的定義域；
（3）由函數(shù)f（x+1）的定義域求出f（x）的定義域為，再求函數(shù)f（2-x）的定義域．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{a^2}-1）{x^2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定義域為R，
得（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，
所以a≠-1；
當(dāng)a=1時，不等式化為1≥0，滿足條件；
當(dāng)a≠±1時，有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{{（a-1）}^{2}-4{（a}^{2}-1）•\frac{2}{a+1}≤0}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤9；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是1≤a≤9；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域是（0，1）時，
令0＜x+1＜1，
解得-1＜x＜0，
所以函數(shù)f（x+1）的定義域是（-1，0）；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x+1）的定義域是[-2，3]時，x∈[-2，3），∴x+1∈[-1，4）；
∴函數(shù)f（x）的定義域為[-1，4）；
令-1≤2-x＜4，
∴-3≤-x＜2，
解得-2＜x≤3，
∴函數(shù)f（2-x）的定義域是（-2，3]．

點評 本題考查了不等式的恒成立問題，也考查了函數(shù)定義域的應(yīng)用問題，是綜合性題目．