Question

3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}\\{y=sin2α+1}\\{\;}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以O(shè)為原極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ²=4ρsinθ-3
（Ⅰ）求曲線C₁與曲線C₂在平面直角坐標系中的普通方程；
（Ⅱ）求曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的距離的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}\\{y=sin2α+1}\\{\;}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），由x=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=sinα+cosα，兩邊平方代入即可得出曲線C₁的普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρ²=4ρsinθ-3，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得曲線C₂的普通方程．
（II）x²+y²-4y+3=0配方為：x²+（y-2）²=1，圓心C₂（0，2），設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C₁上的任意一點，則y₀=${x}_{0}^{2}$，可得|PC|²=${x}_{0}^{2}$+$（{y}_{0}-2）^{2}$=$（{x}_{0}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}\\{y=sin2α+1}\\{\;}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
由x=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）$=sinα+cosα，兩邊平方可得：x²=1+sin2α=y，
∴曲線C₁的普通方程為y=x²．
曲線C₂的極坐標方程為ρ²=4ρsinθ-3，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得：x²+y²=4y-3，
∴曲線C₂的普通方程為：x²+y²-4y+3=0．
（II）x²+y²-4y+3=0配方為：x²+（y-2）²=1，圓心C₂（0，2），
設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C₁上的任意一點，則y₀=${x}_{0}^{2}$，
則|PC|²=${x}_{0}^{2}$+$（{y}_{0}-2）^{2}$=${x}_{0}^{2}$+$（{x}_{0}^{2}-2）^{2}$=${x}_{0}^{4}$-3${x}_{0}^{2}$+4=$（{x}_{0}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$，
當${x}_{0}^{2}$=$\frac{3}{2}$時，|PC|_min=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．∴曲線C₁上的點與曲線C₂上的點的距離的最小值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、曲線相交問題、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．