Question

【題目】（1）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值；

（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝x3－6x＋5，x∈R. 若關(guān)于x的方程g(x)＝m有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=9；（2）5－4＜a＜5＋4.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)a的取值范圍.

（1）由可得，

因?yàn)?/span>在時(shí)有極值0，

所以，

即，解得或，

當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去.

所以常數(shù)a，b的值分別為.

（2），

令，解得，

當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)有極大值，

當(dāng)有極小值，

由上分析可知y= f(x)圖象的大致形狀及走向，

當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，

即方程g(x)＝m有三個(gè)不同的實(shí)根