Question

【題目】如圖，四邊形為矩形，平面，，平面，且點在上．

（）求證：；

（）求三棱錐的體積；

（）設點在線段上，且滿足，試在線段上確定一點，使得平面．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當點為線段上靠近點的一個三等分.

【解析】試題分析：（1）先證明平面，得，由平面，得，從而可得平面，由此能證明；（2）在中，過點作于點，則平面，由已知及（）得，，從而可得結果；（3）過點作交于點，過點作交于點，連接，推導出平面，由此能求出當點為線段上靠近點的一個三等分點時，平面．

試題解析：（）證明：由平面，

及得平面，則，

而平面，則，

又，則平面，

又平面，故．

（）在中，過點作于點，則平面．

由已知及（）得，．

故．

（）在中過點作交于點，

在中過點作交于點，連接，

則由得，由平面 平面，

則平面，再由，得平面，

又平面，則平面，

故當點為線段上靠近點的一個三等分點時，平面．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.