Question

16．如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AC=BD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，$BC=\sqrt{3}$，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）證明：當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有EF⊥AF；
（2）當(dāng)CE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

Answer 1

分析 （1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有EF⊥AF．
（2）求出平面PDE的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出CE=$\sqrt{2}$時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

解答 證明：（1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
則可得P（0，0，1），B（0，1，0），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），D（$\sqrt{3}$，0，0），
設(shè)BE=x，則E（x，1，0），∴$\overrightarrow{PE}$=（x，1，-1）
得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{AF}$=x•0+1×$\frac{1}{2}$+（-1）×$\frac{1}{2}$=0
∴$\overrightarrow{PE}$⊥$\overrightarrow{AF}$，
∴當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有EF⊥AF．…（5分）
解：（2）$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（p，q，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}p-1=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=px+q-1=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，1），…（7分）
∵PA與平面PDE所成角的大小為45°，$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
∴sin45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+（1-\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
解得x=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$或x$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
∵BE=x$∈（0，\sqrt{3}]$，…（11分）
∴BE=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，即當(dāng)CE等于$\sqrt{2}$時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查使線面角為45°的點(diǎn)的確定與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．