Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S₅=30，S₁₀=110，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求S_n與b_n；
（2）比較S_nb_n與T_na_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列前n項和公式列出方程組求出首項與公差，由此能求出差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；由$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）推導(dǎo)出S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，T_na_n=n•（3ⁿ-1），利用作差法能比較S_nb_n與T_na_n的大�。�

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
∵差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S₅=30，S₁₀=110，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=30}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=110}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．…（3分）
∵數(shù)列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*），
∴$_{1}={T}_{1}=\frac{3}{2}_{1}-\frac{1}{2}$，解得b₁=1，
又${T}_{n+1}=\frac{3}{2}_{n+1}-\frac{1}{2}$，n∈N^*，
∴T_n+1-T_n=$\frac{3}{2}_{n+1}-\frac{1}{2}-（\frac{3}{2}_{n}-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{2}_{n+1}-\frac{3}{2}_{n}$，n∈N^*，
即$_{n+1}=\frac{3}{2}_{n+1}-\frac{3}{2}_{n}$，n∈N^*，
整理得b_n+1=3b_n，即$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=3（常數(shù)），
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=3^n-1． …（7分）
（2）∵T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{1}{2}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴S_nb_n=（n²+n）•3^n-1，T_na_n=n•（3ⁿ-1），
于是S_nb_n-T_na_n=（n²+n）•3^n-1-n•（3ⁿ-1）=n[3^n-1（n-2）+1]，…（9分）
當(dāng)n=1時，S_nb_n-T_na_n=0，即S_nb_n=T_na_n；
當(dāng)n≥2（n∈N^*）時，S_nb_n-T_na_n＞0，即S_nb_n＞T_na_n．
∴綜上，當(dāng)n=1時，S_nb_n=T_na_n；當(dāng)n≥2（n∈N^*）時，S_nb_n＞T_na_n．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前n項和、通項公式的求法，考查兩個數(shù)的大小的比較，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．