Question

3．如圖在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁，∠BAC=90°，點D，E分別為棱BB₁，A₁C₁的中點，求異面直線B₁E、CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線B₁E、CD所成角的余弦值．

解答 解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
B₁（2，0，4），E（0，1，4），C（0，2，0），D（2，0，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（2，-2，2），
設(shè)異面直線B₁E、CD所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}E}$，$\overrightarrow{CD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{{B}_{1}E}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=|$\frac{-4-2}{\sqrt{5}•\sqrt{12}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴異面直線B₁E、CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．