Question

16．已知f（x）是定義在（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（Ⅰ）求f（8）；
（Ⅱ）求不等式f（x）+f（x-2）＞3的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件，直接通過f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；
（Ⅱ）利用已知條件轉(zhuǎn)化不等式f（x）+f（x-2）＞3為不等式組，即可求解不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1
∴令x=y=2，則f（4）=f（2）+f（2）=2，
令x=4，y=2，則f（8）=f（4）+f（2）=2+1=3（6分）
（Ⅱ）∵f（x）+f（x-2）＞3，
∴f（x（x-2））＞f（8），（8分）
又∵f（x）是定義在（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，
$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\ x（x-2）＞0\end{array}\right.$，解得x＞4，
∴不等式的解集為（4，+∞）．（12分）

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．