Question

11．已知函數f（x）=x³-$\frac{1}{2}m{x^2}$-1的導函數為f′（x），g（x）=e^mx+f′（x）．
（Ⅰ）若f（2）=11，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明函數g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（2）=11，求得m=-2，求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）利用g′（x）≥0說明函數為增函數，利用g′（x）≤0說明函數為減函數．注意參數m的討論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的m，g（x）在[-1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，則恒成立問題轉化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=x³-$\frac{1}{2}m{x^2}$-1的導函數為f′（x）=3x²-mx，
f（2）=11，可得8-2m-1=11，解得m=-2，
即f（x）=x³+x²-1導數為f′（x）=3x²+2x，
在點（1，f（1））處的切線斜率為5，切點為（1，1），
則在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=5（x-1），
即為5x-y-4=0；
（Ⅱ）證明：g（x）=e^mx+f′（x）=e^mx+3x²-mx．
g′（x）=m（e^mx-1）+6x．
若m≥0，則當x∈（-∞，0）時，e^mx-1≤0，g′（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，e^mx-1≥0，g′（x）＞0．
若m＜0，則當x∈（-∞，0）時，e^mx-1＞0，g′（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，e^mx-1＜0，g′（x）＞0．
所以，g（x）在（-∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；
（Ⅲ）由（1）知，對任意的m，g（x）在[-1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，
故g（x）在x=0處取得最小值．
所以對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1的充要條件是
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）-g（0）≤e+1}\\{g（-1）-g（0）≤e+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m+2≤e+1}\\{{e}^{-m}+m+2≤e+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m≤e-1}\\{{e}^{-m}+m≤e-1}\end{array}\right.$，
設函數h（t）=e^t-t-e+1，則h′（t）=e^t-1．
當t＜0時，h′（t）＜0；當t＞0時，h′（t）＞0．
故h（t）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．
又h（1）=0，h（-1）=e^-1+2-e＜0，故當t∈[-1，1]時，h（t）≤0．
當m∈[-1，1]時，h（m）≤0，h（-m）≤0，即合式成立；
當m＞1時，由h（t）的單調性，h（m）＞0，即e^m-m＞e-1．
當m＜-1時，h（-m）＞0，即e^-m+m＞e-1．
綜上，m的取值范圍是[-1，1]．

點評 本題主要考查導數在求單調函數中的應用和恒成立在求參數中的應用．屬于難題．