【題目】如圖,在四棱錐中,底而為正方形,底面,,點為棱的中點,點,分別為棱上的動點(,與所在棱的端點不重合),且滿足.

(1)證明:平面平面;

(2)當三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)連結(jié)連結(jié),則,,,,,易證,則,可得平面平面.解法二:通過建立空間直角坐標系,找出平面平面的法向量,通過法向量互相垂直來證明.

(2)通過建立空間直角坐標系,找到兩個平面法向量之間的夾角余弦,從而得到二面角的余弦值.

(1)【解法一】:(綜合法)

證明:連接,連接.

因為底面為正方形,所以,,

又因為,所以.

底面知,底面,

底面,所以;

;平面,所以平面.

中,因為,所以,即,

所以平面.

平面,所以平面平面.

【解法二】

(向量法)

因為底面,,以為坐標原點,的方向為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.則

,,,.設,則.

,,.

為平面的一個法向量,則

可取.

為平面的一個法向量,則

可取.

因為,所以.

所以平面平面.

(2)解:設,

由題意知,,又

所以.

易知當三棱錐的體積最大時,,即此時,分別為棱的中點.

為坐標原點,的方向為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.

,,.

,.

是平面的法向量,則

可取.

是平面的法向量,則

可取.

.

由圖知所求二面角為鈍二面角,所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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表1:紅粒高粱頻數(shù)分布表

農(nóng)作物高度()

頻 數(shù)

2

5

14

13

4

2

表2:白粒高粱頻數(shù)分布表

農(nóng)作物高度()

頻 數(shù)

1

7

12

6

3

1

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(2)估計這700棵高粱中高粱高()在的概率;

(3)在樣本的紅粒高粱中,從高度(單位:)在中任選3棵,設表示所選3棵中高(單位:)在的棵數(shù),求的分布列和數(shù)學期望

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則下列結(jié)論中正確的是( )

A. 該家庭2018年食品的消費額是2014年食品的消費額的一半

B. 該家庭2018年教育醫(yī)療的消費額與2014年教育醫(yī)療的消費額相當

C. 該家庭2018年休閑旅游的消費額是2014年休閑旅游的消費額的五倍

D. 該家庭2018年生活用品的消費額是2014年生活用品的消費額的兩倍

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A. B. C. D.

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