Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，此矩形沿地面上一條直線(xiàn)滾動(dòng)，在滾動(dòng)過(guò)程中始終與地面垂直，設(shè)直線(xiàn)BC與地面所成的角為θ，矩形周邊上最高點(diǎn)離地面的距離為f（θ），求：

（1）θ的取值范圍；
（2）函數(shù)f（θ）的解析式；
（3）函數(shù)f（θ）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BC與地面所成的角，是直線(xiàn)BC與平面所成的角，得出θ的取值范圍；
（2）先求出∠DBC的大小，再作出圖形，根據(jù)圖形求出f（θ）的解析式；
（3）根據(jù)（2），結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（θ）的值域．

解答 解：（1）BC與地面所成的角，是直線(xiàn)BC與地平面所成的角，
∴角θ的范圍是[0，$\frac{π}{2}$]；
（2）連接BD，Rt△BCD中，CD=AB=1，BC=AD=$\sqrt{3}$，
∴∠DBC=$\frac{π}{6}$；
過(guò)點(diǎn)D作地平面的垂線(xiàn)，垂足為E，如圖所示；
在Rt△BDE中，∠DBE=θ+$\frac{π}{6}$，DB=2，
∴f（θ）=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）；
（3）由（2）知，當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴f（θ）的值域是[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．