Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a，b＞0）的左、右焦點，B點坐標為（0，$\frac{2}$），直線F₁B與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，且PQ的中點N的橫坐標為$\frac{c}{4}$，則雙曲線C的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐標，可得且PQ的中點N的橫坐標，利用PQ的中點N的橫坐標為$\frac{c}{4}$，求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，k_PQ=$\frac{2c}$．
直線PQ為：y=$\frac{2c}$（x+c），與y=$\frac{a}$x．聯(lián)立得：Q（$\frac{ac}{2c-a}$，$\frac{bc}{2c-a}$）；
與y=-$\frac{a}$x．聯(lián)立得：P（$\frac{-ac}{2c+a}$，$\frac{bc}{2c+a}$）．
∵PQ的中點N的橫坐標為$\frac{c}{4}$，
∴$\frac{ac}{2c-a}$+$\frac{-ac}{2c+a}$=$\frac{c}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查學生的計算能力，確定P，Q的坐標是關(guān)鍵．