Question

19．過拋物線y²=2ax（a＞0）的焦點F作斜率為2$\sqrt{2}$的直線l，若直線l與拋物線在第一象限的交點為A，若點A也在雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{a}{2}$），代入y²=2ax，整理可得4x²-5ax+a²=0，求出A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程得到a，b的關(guān)系，結(jié)合a²+b²=c²求得雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{a}{2}$），代入y²=2ax，整理可得4x²-5ax+a²=0，
∵直線l與拋物線在第一象限的交點為A，
∴A（a，$\sqrt{2}$a），
∵點A也在雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，
∴2-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=1，
∴b=a，
∵a²+b²=c²，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．