Question

5．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=xy，若m²+2m＜x+2y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-4，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把x+2y=xy化為$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，利用基本不等式求出x+2y的最小值，再轉(zhuǎn)化不等式m²-2m＜x+2y，求解關(guān)于m的不等式即可．

解答 解：正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=xy，
∴$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=4，y=2時(shí)等號(hào)成立．
不等式m²+2m＜x+2y恒成立，
即m²+2m＜8恒成立，
解得-4＜m＜2；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-4，2）．
故答案為：（-4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是“1”的應(yīng)用，是中檔題．