Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1過點M（2，0），N（0，1）兩點．
（1）求橢圓C的方程及離心率；
（2）直線y=kx（k∈R，k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點，D點為橢圓C上的動點，且|AD|=|BD|，請問△ABD的面積是否存在最小值？若存在，求出此時直線AB的方程：若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a=2，b=1，求得c，即可求得橢圓方程方程及離心率；
（2）代入橢圓方程，求得丨AB丨，同理求得|OD|，S_△ABD=2S_△OAD=|OA|×|OD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得直線AB的方程及問△ABD的面積是否存在最小值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1過點A（2，0），B（0，1）兩點，
∴a=2，b=1，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）D在AB的垂直平分線上，∴OD：y=$\frac{1}{k}$x．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²=4，
|AB|=2|OA|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{4{k}^{2}+1}}$，…（6分）
同理可得|OD|=2$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}}$，…（7分）
則S_△ABD=2S_△OAD=|OA|×|OD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$，．…（8分）
由于$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{5（1+{k}^{2}）}{2}$，…（10分）
∴S_△ABD=2S_△OAD≥$\frac{8}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)1+4k²=k²+4，即k=±1時取等號．
∴△ABD的面積取最小值$\frac{8}{5}$，
直線AB的方程為y=±x．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．