Question

7．（1）1名老師和6名學生排成一排，要求老師不能站在兩端，那么有多少種不同的排法？
（2）從6名男生、5名女生中任選4人參加競賽，要求男女至少各1名，有多少種不同選法？
（3）一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？

Answer 1

分析 （1）優(yōu)先考慮特殊元素“老師”，老師在中間5個位置選一個有5種排法，其余的6名同學在剩下的6個位置經(jīng)行全排列即可；
（2）正難則反的原則，先求出沒有限制的排列，再排除“只選男生或只選女生”的種數(shù)，問題得以解決．
（3）轉化法，此題相當于“安排5個節(jié)目，其中3個節(jié)目相對順序確定，有多少種方法？”問題得以解決．

解答 解：（1）優(yōu)先考慮特殊元素“老師”，老師在中間5個位置選一個有5種排法，其余的6名同學在剩下的6個位置經(jīng)行全排列有A₆⁶=720種排法，
故有5×720=3600種．
（2）從反面考慮，“男女至少各1名”的反面是“只選男生或只選女生”．
只選男生有C₆⁴=15種情況，只選女生有C₅⁴=5種情況，所以反面共有15+5=20種，
從6名男生、5名女生中任選4人的所有情況共有C₁₁⁴=330種．故所求為330-20=310種不同選法．
（3）“添進去2個新節(jié)目”后，共有5個節(jié)目，因此，此題相當于“安排5個節(jié)目，其中3個節(jié)目相對順序確定，有多少種方法？”
由于“3個節(jié)目相對順序確定”，可以直接采用歸一法．安排5種節(jié)目有A₅⁵=120種，三個節(jié)目對的全排列為A₃³=6種，
所以，一共有120÷6=20種安排方法．

點評 本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，關鍵是對題意的正確理解及分步計數(shù)原理的正確應用，屬于中檔題．