Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)；
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，利用f（0）=0，解方程即可求實(shí)數(shù)b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求出函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上的取值范圍即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，此時(shí)有f(0)=

-1+b

4

=0，
解得b=1；
（2）由（1）知：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

•(-1+

2

2x+1

)
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則

f(x2)-f(x1)= 1 2 •(-1+ 2 2x2+1 )- 1 2 •(-1+ 2 2x1+1 ) = 1 2 ( 2 2x2+1 - 2 2x1+1 )= 2x1-2x2 (2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）為減函數(shù)；
（3）由（2）知：f（x）為減函數(shù)；x∈[0，1]時(shí)，f（x）_max=f（0）=0，
f(x)min=f(1)=-

1

6

；
故f(x)∈[-

1

6

，0]，
∵關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，
故只需要m∈[-

1

6

，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性，單調(diào)性和最值的判斷和應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．