Question

1．等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n=a+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，則$\lim_{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）=-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列的前3項(xiàng)，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出首項(xiàng)和公比，由此能求出$\lim_{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n=a+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*，
∴a₁=S₁=a+$\frac{1}{3}$，
a₂=S₂-S₁=[a+（$\frac{1}{3}$）²]-（a+$\frac{1}{3}$）=-$\frac{2}{9}$，
a₃=S₃-S₂=[a+（$\frac{1}{3}$）³]-[a+（$\frac{1}{3}$）²]=-$\frac{2}{27}$，
∴（-$\frac{2}{9}$）²=（a+$\frac{1}{3}$）（-$\frac{2}{27}$），解得a=-1，${a}_{1}=-\frac{2}{3}$，q=$\frac{-\frac{2}{9}}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴${a}_{n}=（-\frac{2}{3}）•（\frac{1}{3}）^{n-1}$=（-2）$•\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴$\lim_{n→∞}$（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）=$\lim_{n→∞}$（$\frac{-\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$）=$\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前2n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和的極限的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．