Question

6．函數(shù)$f（x）=\frac{{\root{3}{3x+5}}}{{a{x^2}+4ax+3}}$的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，+∞）
• B． $（0，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{3}{4}，+∞）$
• D． $[0，\frac{3}{4}）$

Answer 1

分析 由函數(shù)$f（x）=\frac{{\root{3}{3x+5}}}{{a{x^2}+4ax+3}}$的定義域為R，得對任意實數(shù)x，ax²+4ax+3≠0，然后分a=0和a≠0討論，當a≠0時，由△=16a²-12a＜0求得a的取值范圍．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=\frac{{\root{3}{3x+5}}}{{a{x^2}+4ax+3}}$的定義域為R，得
對任意實數(shù)x，ax²+4ax+3≠0，
當a=0時，ax²+4ax+3=3≠0成立；
當a≠0時，則△=16a²-12a＜0，即0＜a＜$\frac{3}{4}$．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{3}{4}$）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．