Question

10．已知：2y²-x²=1，求d=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$的最小值．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，設與直線x-2y=0平行的直線l的方程，根據(jù)圖象可知直線l與2y²-x²=1相切時，切點到直線x-2y=0的距離最小，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去x，由相切的條件得△=0求出m的值，利用兩條平行線間的距離公式求出d的最小值．

解答 解：由題意畫出圖象：
設與直線x-2y=0平行的直線l的方程為：
x-2y+m=0，
當直線l與雙曲線2y²-x²=1相切時，
切點到直線x-2y=0的距離最小，
即d=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$的值最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{2{y}^{2}-{x}^{2}=1}\end{array}\right.$得，
2y²-4my+m²+1=0，
所以△=（4m）²-4×2×（m²+1）=0，
解得：m=±1，
則直線l的方程為：x-2y±1=0，
所以d的最小值是：$\frac{|±1-0|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及點到直線的距離與平行線間的距離轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．