Question

16．已知p：-x²+16x-60＞0，$q：\frac{x-1}{{\sqrt{x+1}}}＞0$，r：關(guān)于x的不等式x²-3ax+2a²＜0（a∈R），若r是p的必要不充分條件，且r是q的充分不必要條件，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為不等式對應(yīng)集合的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由-x²+16x-60＞0解得：6＜x＜10，由$\frac{x-1}{{\sqrt{x+1}}}＞0$解得：x＞1
（Ⅰ）當(dāng)a＞0，由x²-3ax+2a²＜0解得：a＜x＜2a
若r是p的必要不充分條件，則（6，10）⊆（a，2a），則 5≤a≤6①
且r是q的充分不必要條件，則（a，2a）⊆（1，+∞），則 a≥1②
由①②得  5≤a≤6
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，由x²-3ax+2a²＜0解得：2a＜x＜a＜0，而若r是p的必要不充分條件，（6，10）⊆（a，2a）不成立，（a，2a）⊆（1，+∞）也不成立，不存在a值．
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，由x²-3ax+2a²＜0解得：r為∅，（6，10）⊆∅不成立，不存在a值
綜上，5≤a≤6為所求．

點(diǎn)評 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)條件求出不等式對應(yīng)的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．