Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=r，S_n=a_n+1-$\frac{1}{32}（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）試確定r的值，使{a_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過n=1可得${a}_{2}={a}_{1}+\frac{1}{32}$，通過n≥2時(shí)，得a_n+1=2a_n（n≥2），利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得$r=\frac{1}{32}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）知b_n=n-6，分n＜6、n≥6兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，${S_1}={a_2}-\frac{1}{32}，{a_2}={a_1}+\frac{1}{32}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}={a_n}-\frac{1}{32}$，與已知式作差得a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=2a_n（n≥2），
欲使{a_n}為等比數(shù)列，則a₂=2a₁=2r，
又${a_2}={a_1}+\frac{1}{32}$，∴$r=\frac{1}{32}$，
故數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{32}$為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以${a_n}={2^{n-6}}$；
（Ⅱ）由（I）知b_n=n-6，∴$|{b_n}|=\left\{\begin{array}{l}6-n，n＜6\\ n-6，n≥6\end{array}\right.$，
若n＜6，${T_n}=-{b_1}-…-{b_n}=\frac{{11n-{n^2}}}{2}$，
若n≥6，${T_n}=-{b_1}-…-{b_5}+{b_6}+…+{b_n}=\frac{{{n^2}-11n}}{2}+30$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{11n-{n^2}}}{2}，n＜6\\ \frac{{{n^2}-11n}}{2}+30，n≥6\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．