Question

17．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四邊形CC₁D₁D為矩形，已知AB⊥BC₁，AD=4，AB=2，BC=1．
（1）求證：BC₁∥平面ADD₁；
（2）若DD₁=2，求平面AC₁D₁與平面ADD₁所成的銳二面角的余弦值；
（3）設(shè)P為線段C₁D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），判斷直線BC₁與直線CP能否垂直？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CC₁∥DD₁，從而CC₁∥平面ADD₁，同理BC∥ADD₁，進(jìn)而平面BCC₁∥平面ADD₁，由此能證明BC₁∥平面ADD₁．
（2）推導(dǎo)出AB⊥BC，AB⊥CC₁，從而CC₁⊥平面ABCD，進(jìn)而DD₁⊥平面ABCD，以D為原點(diǎn)，DA，DM，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AC₁D₁與平面ADD₁所成的銳二面角的余弦值．
（3）設(shè)DD₁=m，（m＞0），$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{D{C}_{1}}$，λ∈（0，1），由BC₁⊥CP，得λ＞1，與0＜λ＜1矛盾，從而直線BC₁與CP不可能垂直．

解答 證明：（1）∵CC₁D₁D為矩形，∴CC₁∥DD₁，
又∵DD₁?平面ADD₁，CC₁?平面ADD₁，
∴CC₁∥平面ADD₁，同理BC∥ADD₁，
又∵BC∩CC₁=C，∴平面BCC₁∥平面ADD₁，
又∵BC₁?平面BCC₁，∴BC₁∥平面ADD₁．
解：（2）∵平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BC₁，BC∩BC₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁，∴AB⊥CC₁，
又∵四邊形CC₁D₁D為矩形，且底面ABCD中AB與CD相交于一點(diǎn)，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∵CC₁∥DD₁，∴DD₁⊥平面ABCD，
過D在底面ABCD中作DM⊥AD，∴DA，DM，DD₁兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，DA，DM，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C₁（3，2，2），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-1，2，2），\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，2），
設(shè)平面AC₁D₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+2z=0}\\{-4x+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=2，得$\overrightarrow{m}=（2，-3，4）$，
平面ADD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{3\sqrt{29}}{29}$，
∴平面AC₁D₁與平面ADD₁所成的銳二面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{29}}{29}$．
（3）直線BC₁與直線CP不可能垂直．理由如下：
設(shè)DD₁=m，（m＞0），$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{D{C}_{1}}$，λ∈（0，1），
由B（4，2，0），C（3，2，0），D（0，0，0），
得$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，m），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（3，2，m），$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（3λ，2λ，λm），$\overrightarrow{CD}$=（-3，-2，0），
$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP}$=（3λ-3，2λ-2，λm），
若BC₁⊥CP，則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CP}$=-（3λ-3）+λm²=0，
即（m²-3）λ=-3，
∵λ≠0，
∴${m}^{2}=-\frac{3}{λ}+3＞0$，解得λ＞1，與0＜λ＜1矛盾，
∴直線BC₁與CP不可能垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查兩直線是否垂直的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．