Question

【題目】已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.

（1）求圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離，確定出圓心坐標(biāo)，即可得出圓方程；

（2）當(dāng)直線軸，則軸平分，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立圓與直線方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，由若軸平分，則，求出的值，確定出此時(shí)坐標(biāo)即可.

（1）設(shè)圓心，

∵直線：，半徑為2的圓與相切，

∴，即，

解得：或（舍去），

則圓方程為；

（2）當(dāng)直線軸，則軸必平分，

此時(shí)可以為軸上任一點(diǎn)，

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為，，，，

由得，經(jīng)檢驗(yàn)，

∴，，

若軸平分，設(shè)為，

則，即，

整理得：，即，

解得：，

綜上，當(dāng)點(diǎn)，使得軸平分.