Question

8．如圖，A，B為拋物線y²=4x上的兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點且FA⊥FB，C為直線AB上一點且橫坐標為-1，連結(jié)FC．若|BF|=3|AF|，則tanC=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=$\sqrt{10}$a，做FH⊥AB于H，求出|FH|，|CH|，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，設(shè)|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=$\sqrt{10}$a，
作AA′⊥l（l為拋物線的準線），則|AA′|=|AF|=a，|BB′|=|BF|=3a，
|A′B′|=|AD|=$\sqrt{6}$a．△CA′A∽△CB′B，可得$\frac{AA′}{BB′}$=$\frac{1}{3}$，
CA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
做FH⊥AB于H，△ABF三邊長為a，3a，$\sqrt{10}$a，
∴|FH|=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$a，|AH|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a，
∴tanC=$\frac{|FH|}{|CH|}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}a}{\frac{\sqrt{10}}{2}a+\frac{\sqrt{10}}{10}a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的定義，考查三角形相似的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．