Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=-2^x，g（x）=lg（ax²-2x+1），若對(duì)任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （0，1）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由題意求出f（x）的值域，再把對(duì)任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的值域包含f（x）的值域，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式求解．

解答 解：∵f（x）=-2^x＜0，
∴?x₁∈R，f（x）=-2^x∈（-∞，0），
∵?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴g（x）=lg（ax²-2x+1）的值域包含（-∞，0），
設(shè)y=ax²-2x+1的值域?yàn)锽，
則（0，1]⊆B．
由題意當(dāng)a=0時(shí)，上式成立．
當(dāng)a＞0時(shí)，△=4-4a≥0，解得0＜a≤1．
當(dāng)a＜0時(shí)，y_max=$\frac{4a-4}{4a}$≥1，即$-\frac{1}{a}$≥0恒成立．
綜上，a≤1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解題意是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．