Question

4．平行四邊形ABCD三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-5，12）、（0，0）、（3，4），直線l交BA于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于F，△BEF是以EF為底邊的等腰三角形，如果直線l平分平行四邊形ABCD的面積，試求直線l的方程．

Answer 1

分析 由題意作出圖象，易得D（-2，16），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)G（-1，8），直線l必過點(diǎn)G（-1，8），設(shè)其斜率為k，過C做CH∥l交AB于H，設(shè)H（m，n），求得H坐標(biāo)，由斜率公式和平行關(guān)系可得k值，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式可得．

解答 解：由題意作出圖象（如圖），由平行四邊形可得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，
代入坐標(biāo)可得（x+5，y-12）=（3，4），
解得x=-2，y=16，即D（-2，16），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)G（-1，8）
由面積平分可得直線l必過點(diǎn)G（-1，8），設(shè)其斜率為k，
過C做CH∥l交AB于H，設(shè)H（m，n），
則$\frac{n}{m}$=$\frac{12-n}{-5-m}$且m²+n²=3²+4²，解得m=-$\frac{25}{13}$，n=$\frac{60}{13}$，
由平行關(guān)系和斜率公式可得k=$\frac{\frac{60}{13}-4}{-\frac{25}{13}-3}$=-$\frac{1}{8}$，
∴所求直線l的方程為y-8=-$\frac{1}{8}$（x+1），
整理為一般式可得x+8y-63=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求直線的方程，數(shù)形結(jié)合并利用直線的平行關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．