Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）過點P（2，0）作斜率為1直線l與圓C交于A，B兩點，試求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直線參數(shù)方程的一般式，即可寫出，化簡圓的極坐標(biāo)方程，運用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；
（Ⅱ）求出過點P（2，0）作斜率為1直線l的參數(shù)方程，代入到圓的方程中，得到關(guān)于t的方程，運用韋達(dá)定理，以及參數(shù)t的幾何意義，即可求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可得ρ=4cosθ-4sinθ，∴ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，∴x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8；
（Ⅱ）過點P（2，0）作斜率為1直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$
代入（x-2）²+（y+2）²=8得t²+2$\sqrt{2}$t-4=0，
A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁、t₂，則t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4，
由t的意義可得$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查直線的參數(shù)方程、以及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，同時考查直線參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．