Question

某幾何體ABC-A₁B₁C₁的三視圖和直觀圖如圖所示．
（Ⅰ）求證：平面AB₁C₁⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）若E是線段AB₁上的一點，且滿足VE-AA1C1=

1

9

VABC-A1B1C1，求AE的長．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由三視圖可知，幾何體ABC-A₁B₁C₁為三棱柱，由已知條件推導(dǎo)出B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，由此能證明平面AB₁C₁⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）過點E作EF∥B₁C₁交AC₁于F，EF為三棱錐E-AA₁C的高，由此利用等積法能求出AE的長．

解答： （Ⅰ）證明：由三視圖可知，幾何體ABC-A₁B₁C₁為三棱柱，
側(cè)棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，且AA₁=AC=4，BC=2．…（2分）
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁C₁，…（3分）
∵B₁C₁⊥A₁C₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁．…（5分）
又∵B₁C₁?平面AB₁C₁，∴平面AB₁C₁⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（Ⅱ）解：過點E作EF∥B₁C₁交AC₁于F，
由（Ⅰ）知，EF⊥平面A₁ACC₁，即EF為三棱錐E-AA₁C的高．…（7分）
∵VE-AA1C1=

1

9

VABC-A1B1C1，∴

1

3

S△AA1C1•EF=

1

9

S△ABC•AA1，…（8分）
∴

1

3

×(

1

2

×4×4)×EF=

1

9

×(

1

2

×2×4)，解得EF=

2

3

．…（9分）
在Rt△ABC中，AB=

42+22

=2

5

，
在Rt△ABB₁中，AB1=

(2 5 )2+42

=6，…（10分）
由

AE

AB1

=

EF

B1C1

，…（11分）
得AE=

AB1•EF

B1C1

=

6× 2 3

2

=2．…（12分）

點評：本題主要考查三視圖、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．