Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）已知A（-2，0），B（0，2），圓C上任意一點(diǎn)M（x，y），求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}}\right.$，通過(guò)三角函數(shù)的平方關(guān)系式消去參數(shù)θ，得到普通方程．通過(guò)x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）求出點(diǎn)M（x，y）到直線AB：x-y+2=0的距離，表示出△ABM的面積，通過(guò)兩角和的正弦函數(shù)，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義，求解△ABM面積的最大值．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）
所以普通方程為（x-3）²+（y+4）²=4．（2分），
x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ-3）²+（ρsinθ+4）²=4，
化簡(jiǎn)可得圓C的極坐標(biāo)方程：ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）
（2）點(diǎn)M（x，y）到直線AB：x-y+2=0的距離為$d=\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{{\sqrt{2}}}$（7分）
△ABM的面積$S=\frac{1}{2}×|AB|×d=|2cosθ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）+9|$
所以△ABM面積的最大值為$9+2\sqrt{2}$（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容．本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)運(yùn)算求解能力有一定要求．