Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求滿足T_n＜55的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2ⁿ-2，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)成立，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，再利用“錯(cuò)位相減法”求得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，由T_n＜55，可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49，驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)滿足T_n＜55．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2ⁿ-2，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=2ⁿ，
∵P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，b_n+1-b_n=2，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=2n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=2+$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
由T_n＜55，可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜55，化為（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49．
當(dāng)n=3時(shí)，左邊=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右邊，
而當(dāng)n=4時(shí)，左邊=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右邊．
因此滿足T_n＜55，的最大正整數(shù)n=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、考查利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．