Question

5．若函數(shù)f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（a∈R），則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． ?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù) 21
• B． ?a∈R，f（x）是偶函數(shù)育
• C． ?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
• D． ?a∈R，f（x）是奇函數(shù)

Answer 1

分析 考查函數(shù)f（x）的單調(diào)性，排除選項(xiàng)A、C；
a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，無論a取何值，f（x）都不是奇函數(shù)，由此得出正確選項(xiàng)．

解答 解：∵f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，
令2x³-a=0，解得x=$\root{3}{\frac{a}{2}}$，
∴當(dāng)x＞$\root{3}{\frac{a}{2}}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x＜$\root{3}{\frac{a}{2}}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
∴選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；
又a=0時(shí)，f（x）=x²是偶函數(shù)，∴B正確；
無論a取何值，f（x）都不是奇函數(shù)，∴D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，是綜合性題目．