Question

16．已知t∈C，且$\frac{t+3}{t-3}$為純虛數(shù)．
（1）求t的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡；
（2）判斷復(fù)數(shù)$\frac{4+|t|i}{3+|t|i}$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出復(fù)數(shù)t的代數(shù)形式，代入$\frac{t+3}{t-3}$，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理，由實(shí)部等于0且不等于0可求t得軌跡方程，可得t的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓，并除去（-3，0），（3，0）兩點(diǎn)；
（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)t=x+yi（x，y∈R），則$\frac{t+3}{t-3}$=$\frac{x+yi+3}{x+yi-3}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-9-6yi}{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
∵$\frac{t+3}{t-3}$為純虛數(shù)，
∴x²+y²=9（y≠0），
∴t的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓，并除去（-3，0），（3，0）兩點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)$\frac{4+|t|i}{3+|t|i}$=$\frac{4+3i}{3+3i}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{6}$i，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是第四象限．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了軌跡方程的求法，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解答的關(guān)鍵是對(duì)軌跡方程中不滿(mǎn)足條件點(diǎn)的取舍，是中檔題．